Биссектрисы АА1, BB1 и CC1 треугольника ABC со сторонами АВ = с, ВС = а и СА = b пересекаются в точке О. а) Найдите отношения АО/ОА1, ВО/ОВ1, СО/ОС1. б) Докажите, что АО/АА1 + ВО/ВВ1 + СО/СС1 = 2, ОА1/АА1 + ОВ1/ВВ1 + ОС1/СС1 = 1. в) Может ли хотя бы одна из биссектрис треугольника делиться точкой О пополам? г) Докажите, что одна из биссектрис делится точкой О в отношении 2 : 1, считая от вершины, тогда и только тогда, когда одна из сторон треугольника равна полусумме двух других сторон.
Решение:
