Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость α перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О1 радиуса r1, где О1 - точка пересечения плоскости α с осью РО, а r1 = PO1/PO · r (см. рис. 152).

 

Решение:

  Докажем сначала, что любая точка М1, лежащая в плоскости α на окружности радиуса r1 с центром О1, лежит на некоторой образующей конуса, т.е. является точкой рассматриваемого сечения. Обозначим буквой М точку пересечения луча РМ1 с плоскостью основания конуса. Из подобия прямоугольных треугольников РО1М1 и РОМ (они подобны, так как имеют общий острый угол Р) находим: ОМ = РО/РО1 · О1М1 = РО/РО1 · r1 = r, т.е. точка М лежит на окружности основания конуса. Следовательно, отрезок РМ, на котором лежит точка М1, является образующей конуса.

  Докажем теперь, что любая точка М1, лежащая как в плоскости α, так и на боковой поверхности конуса, лежит на окружности радиуса r1 с центром О1. Действительно, из подобия треугольников РО1М1 и РОМ (РМ - образующая, проходящая через точку М1) имеем О1М1 = РО1/РО · ОМ = РО1/РО · r = r1. Таким образом, окружность радиуса r1 с центром О1 является сечением боковой поверхности конуса плоскостью α, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью α.