Прямая МА проходит через точку А плоскости α и образует с этой плоскостью угол φ0 ≠ 90°. Докажите, что φ0 является наименьшим из всех углов, которые прямая МА образует с прямыми, проведенными в плоскости α через точку А.

 

Решение:

  Обозначим буквой Н основание перпендикуляра, проведенного из точки М к плоскости α, и рассмотрим произвольную прямую р в плоскости α, проходящую через точку А и отличную от прямой АН. Угол между прямыми АМ и р обозначим через φ (рис. 57) и докажем, что φ > φ0.

  Из точки М проведем перпендикуляр MN к прямой р. Если точка N совпадает с точкой А, то φ = 90° и поэтому φ > φ0. Рассмотрим случай, когда точки А и N не совпадают (см. рис. 57). Отрезок АМ - общая гипотенуза прямоугольных треугольников ANM и АНМ, поэтому sin φ = MN/AM, sin φ0 = MH/AM. Так как MN > MH (MN - наклонная, МН - перпендикуляр), то из этих двух равенств следует, что sin φ > sin φ0 и поэтому φ > φ0.