Докажите, что существует, и притом только одна, прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярная к каждой из них.

 

Решение:

  Рассмотрим плоскость α, проходящую через прямую а и параллельную прямой b. Через прямые а и b проведем плоскости β и γ так, чтобы β была перпендикулярна α и γ была бы перпендикулярна α (см. предыдущую задачу). Докажите самостоятельно, что прямая р, по которой пересекаются плоскости β и γ, искомая. Докажем, что р - единственная прямая, удовлетворяющая условию задачи. Предположим, что существуют две прямые А1В1 и А2В2, пересекающие данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярные к каждой из них (рис. 68).

  Прямые А1В1 и А2В2 перпендикулярны к плоскости α (объясните почему), поэтому они параллельны. Отсюда следует, что скрещивающиеся прямые а и b лежат в одной плоскости, что противоречит определению скрещивающихся прямых.