Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости α, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости β.

Решение:

  Проведем в плоскости α произвольную прямую АС, перпендикулярную к прямой с, С принадлежит с. Докажем, что СА перпендикулярен β.

  В плоскости β через точку С проведем прямую СВ, перпендикулярную к прямой с. Так как СА перпендикулярен с и СВ перпендикулярен с, то угол АСВ - линейный угол одного из двугранных углов, образованных плоскостями α и β. По условию задачи α перпендикулярна β, поэтому угол АСВ - прямой, т.е. СА перпендикулярен СВ. Таким образом, прямая СА перпендикулярна к двум пересекающимся прямым с и СВ плоскости β, поэтому СА перпендикулярна β.